Macam Macam Metode

A. METODE TERTUTUP

 

 Metode tertutup disebut juga metode bracketing. Disebut sebagai metode tertutup karena dalam pencarian akar-akar persamaan non-linier dilakukan dalam suatu selang $[a,b].$

Metode Tabel

Penyelesaian persamaan non-linier menggunakan metode tabel dilakukan dengan membagi persamaan menjadi beberapa area, dimana untuk $x=\left[a,b\right]$

dibagi sebanyak $N$ bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai $f\left(x\right)$ sehingga diperoleh nilai $f\left(x\right)$ pada setian $N$bagian. 

Bila nilai $f\left(x_k\right)=0$ atau mendekati nol, dimana $a\le k\le b$, maka dikatakan bahwa $x_k$ adalah penyelesaian persamaan $f\left(x\right)$. Bila tidak ditemukan, dicari nilai $f\left(x_k\right)$ dan $f\left(x_{k+1}\right)$ yang berlawanan tanda. Bila tidak ditemukan, maka persamaan tersebut dapat dikatakan tidak mempunyai akar untuk rentang $\left[a,b\right]$.

Bila akar persamaan tidak ditemukan, maka ada dua kemungkinan untuk menentukan akar persamaan, yaitu:

• Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat. Bila f(xk)≤f(xk+1), maka akarnya xk. Bila f(xk+1)≤f(xk), maka akarnya xk+1.
• Perlu dicari lagi menggunakan rentang x=[xk,xk+1].
  
  Secara grafis penyelesaian persamaan non-linier menggunakan metode table disajikan pada Gambar dibawah. 

 

 

 

Algoritma Metode Tabel

1. Definisikan fungsi $f\left(x\right)$
2. Tentukan rentang untuk $x$ yang berupa batas bawah $a$ dan batas atas $b$.
3. Tentukan jumlah pembagi $N$
4. Hitung step pembagi:
   

Untuk i=0 s/d N, hitung:

 

•  Bila $f\left(x\right)=0$, maka akarnya $x_k$
• Bila $f\left(a\right)f\left(b\right)<0$, maka:
•  $f\left(x_k\right)\le f\left(x_{k+1}\right)$, maka akarnya $x_k$
• Bila tida, $x_{k+1}$ adalah penyelesaian atau dapat dikatakan penyelesaian berada diantara $x_k$ dan $x_{k+1}$.

 

Kita dapat membuat suatu fungsi pada R untuk melakukan proses iterasi pada metode Tabel. Fungsi root_table() akan melakukan iterasi berdasarkan step algoritma 1 sampai 5. Berikut adalah sintaks yang digunakan:
 

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

 Contoh 7.1  Carilah akar persamaan $f\left(x\right)=x+e^x$ pada rentang $x=\left[-1,0\right]$ ?

Jawab:

Sebagai permulaan, jumlah pembagi yang digunakan adalah $N=10$

. Dengan menggunakan fungsi root_table() diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel penyelesaian persamaan.

Tabel Penyelesaian persamaan x+exp(x)=0

tabel <- root_table(f=function(x){x+exp(x)},

                     a=-1, b=0, N=10)

Berdasarkan Tabel diatas diperoleh penyelesaian di antara −0,6 dan −0,5 

dengan nilaif(x)masing-masing sebesar −0,0512 dan −0,1065, sehingga dapat diambil penyelesaian x=−0,6. Kita dapat terus melakukan iterasi sampai memperoleh nilai f(x) < nilai toleransi dengan terus merubah rentang yang diberikan. Iterasi berikutnya dengan nilai pembagi sama dan rentang nilai x=[−0,6;−0,5]diperoleh nilai x=−0,57 dan f(x)=0,00447. Untuk melihat gambaran lokasi akar, kita dapat pulang mengeplotkan data 

menggunakan fungsi plot. Berikut adalah fungsi yang digunakan:Untuk mengetahui lokasi akar dengan lebih jelas, kita dapat memperkecil lagi rentang nilai yang dimasukkan dalam fungsi curve().

Metode tabel pada dasarnya memiliki kelemahan yaitu cukup sulit untuk memdapatkan error penyelesaian yang cukup kecil, sehingga metode ini jarang sekali digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linier. Namun, metode ini cukup baik digunakan dalam menentukan area penyelesaian sehingga dapat dijadikan acuan metode lain yang lebih baik.

 

Metode Biseksi

Prinsip metode bagi dua adalah mengurung akar fungsi pada interval $x=\left[a,b\right]$

atau pada nilai $x$ batas bawah $a$ dan batas atas $b$

. Selanjutnya interval tersebut terus menerus dibagi 2 hingga sekecil mungkin, sehingga nilai hampiran yang dicari dapat ditentukan dengan tingkat toleransi tertentu. Untuk lebih memahami metode biseksi, perhatikan visualisasi pada gambar berikut.

Metode biseksi merupakan metode yang paling mudah dan paling sederhana dibanding metode lainnya. Adapun sifat metode ini antara lain:

1. Konvergensi lambat
2. Caranya mudah
3. Tidak dapat digunakan untuk mencari akar imaginer
4. Hanya dapat mencari satu akar pada satu siklus.

---

Algoritma Metode Biseksi

1. Definisikan fungsi $f\left(x\right)$

2. Tentukan rentang untuk $x$ yang berupa batas bawah $a$ dan batas atas $b$. 

3. Tentukan nilai toleransi e dan iterasi maksimum N

4. Hitung f(a) dan f(b)

5.Hitung: $$\begin{array}{}x=\frac{a+b}{2}\end{array}$$

6. Hitung f(x)Bila f(x).f(a)<0

7. maka b=x dan f(b)=f(x). Bila tidak, a=x dan f(a)=f(x)

8. Bila |b−a|<eatau iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar=x

, dan bila tidak ulangi langkah 6

9. Jika sudah diperoleh nilai dibawah nilai toleransi, nilai akar selanjutnya dihitung berdasarkan Persamaan gambar diatas yang dengan nilai adan b merupakan nilai baru yang diperoleh dari proses iterasi. 

---

Berdasarkan algoritma tersebut, kita dapat menyusun suatu fungsi pada R yang dapat digunakan untuk melakukan iterasi tersebut. Fungsi root_bisection() merupakan fungsi yang telah penulis susun untuk melakukan iterasi menggunakan metode biseksi. Berikut adalah sintaks dari fungsi tersebut:

root_bisection <- function(f, a, b, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  fa <- f(a)
  fb <- f(b)
  
  while(abs(b-a)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      warning("iterations maximum exceeded")
      break
    }
    x <- (a+b)/2
    fx <- f(x)
    if(fa*fx>0){
      a <- x
      fa <- fx
    } else{
      b <- x
      fb <- fx
    }
  }
  
  # iterasi nilai x sebagai return value
  root <- (a+b)/2
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh 7.2 Carilah akar persamaan $f\left(x\right)=x{e}^{-x}+1$

pada rentang $x=\left[-1,0\right]$ dengan nilai toleransi sebesar ${10}^{-}7$

?

Jawab:

Langkah pertama dalam penghitungan adalah menghitung nilai $x$

menggunakan Persamaan gambar diatas.

$$x=\frac{-1+0}{2}=-0,5$$

Hitung nilai $f\left(x\right)$

dan $f\left(a\right)$

.

$$f\left(x\right)=-0,5.e^{0,5}+1=0,175639$$

$$f\left(a\right)=-1.e^1+1=-1,71828$$

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh:

$$f\left(x\right).f\left(a\right)<0$$

Sehingga $b=x$

dan $f\left(b\right)=f\left(x\right)$. Iterasi dilakukan kembali dengan menggunakan nilai $b$

tersebut.

Untuk mempersingkat waktu iterasi kita akan menggunakan fungsi root_bisection() pada R. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

root_bisection(function(x){x*exp(-x)+1},
               a=-1, b=0)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     x * exp(-x) + 1
## }
## <bytecode: 0x000000001d62cab0>
## 
## $root
## [1] -0.5671
## 
## $iter
## [1] 24

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar persamaan $x=-2.980232e-08$

dan iterasi yang diperlukan untuk memperolehnya sebanyak $24$ iterasi.

Tentukan rentang untuk $x$

.

Tentukan nilai toleransi $e$

Hitung $f\left(a\right)$

Bila $f\left(x\right).f\left(a\right)<0$

Bila $\left|b-a\right|<e$

, dan bila tidak ulangi langkah 6.

Jika sudah diperoleh nilai dibawah nilai toleransi, nilai akar selanjutnya dihitung berdasarkan Persamaan gambar diatas dengan nilai $a$

 

Metode Regula Falsi

Metode regula falsi merupakan metode yang menyerupai metode biseksi, dimana iterasi dilakukan dengan terus melakukan pembaharuan rentang untuk memperoleh akar persamaan. Hal yang membedakan metode ini dengan metode biseksi adalah pencarian akar didasarkan pada slope (kemiringan) dan selisih tinggi dari kedua titik rentang. Titik pendekatan pada metode regula-falsi disajikan pada Persamaan gambar dibawah.

$$\begin{array}{}x=\frac{f\left(b\right).a-f\left(a\right).b}{f\left(b\right)-f\left(a\right)}& \end{array}$$

Ilustrasi dari metode regula falsi disajikan pada Gambar berikut.

---

Algoritma Metode Regula Falsi

1. Definisikan fungsi $f\left(x\right)$

yang berupa batas bawah $a$ dan batas atas $b$ dan iterasi maksimum $N$ dan $f\left(b\right)$ s/d $N$

5. 
   

• Hitung nilai $x$

, maka $b=x$ dan $f\left(b\right)=f\left(x\right)$. Jika tidak, $a=x$ dan $f\left(a\right)=f\left(x\right)$

• .

6. Akar persamaan adalah $x$

6. 
   

---

Fungsi root_rf() didasarkan pada langkah-langkah di atas. Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

root_rf <- function(f, a, b, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 1
  fa <- f(a)
  fb <- f(b)
  x <- ((fb*a)-(fa*b))/(fb-fa)
  fx <- f(x)
  
  while(abs(fx)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      warning("iterations maximum exceeded")
      break
    }
    if(fa*fx>0){
      a <- x
      fa <- fx
    } else{
      b <- x
      fb <- fx
    }
    x <- (fb*a-fa*b)/(fb-fa)
    fx <- f(x)
  }
  
  # iterasi nilai x sebagai return value
  root <- x
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh 7.3 Selesaikan persamaan non-linier pada Contoh gambar diatas menggunakan metode regula falsi pada rentang $x=\left[-1,0\right]$

dengan nilai toleransi sebesar ${10}^{-}7$

?

Jawab:

Langkah pertama penyelesaian dilakukan dengan mencari nilai $f\left(a\right)$

dan $f\left(b\right)$

.

$$f\left(a\right)=-1.e^1+1=-1,71828$$

$$f\left(b\right)=0.e^0+1=1$$ Hitung nilai $x$ dan $f\left(x\right)$

.

$$x=\frac{\left(1.-1\right)-\left(-1,71828.0\right)}{1+1,71828}=-0.36788$$

$$f\left(x\right)=-\mathrm{0.36788.}{e}^{0.36788}+1=0.468536$$

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh:

$$f\left(x\right).f\left(a\right)<0$$

Sehingga $b=x$

dan $f\left(b\right)=f\left(x\right)$. Iterasi dilakukan kembali dengan menggunakan nilai $b$

tersebut.

Untuk mempercepat proses iterasi, kita dapat pula menggunakan fungsi root_rf() pada R. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

root_rf(function(x){x*exp(-x)+1},
               a=-1, b=0)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     x * exp(-x) + 1
## }
## <bytecode: 0x000000001c7931a8>
## 
## $root
## [1] -0.5671
## 
## $iter
## [1] 15

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai $x=-0,5671433$

dan jumlah iterasi yang diperlukan adalah $15$. Jumlah ini lebih sedikit dari jumlah iterasi yang diperlukan pada metode iterasi biseksi yang juga menunjukkan metode ini lebih cepat memperoleh persamaan dibandingkan metode biseksi.

Tentukan rentang untuk $x$

.

Tentukan nilai toleransi $e$

Hitung $f\left(a\right)$

Untuk iterasi $i=1$

berdasarkan Persamaan berikut

 

Hitung $f\left(x\right)$

Hitung $error=\left|f\left(x\right)\right|$

Jika $f\left(x\right).f\left(a\right)<0$

 

B. Metode Terbuka

Metode terbuka merupakan metode yang menggunakan satu atau dua tebakan awal yang tidak memerlukan rentang sejumlah nilai. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis yaitu metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson, dan metode Secant.

Metode Iterasi Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan cara menyelesaikan setiap variabel $x$

yang ada dalam suatu persamaan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh $x=g\left(x\right)$ untuk masing-masing variabel $x$. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan persamaan $x+e^x=0$, maka persamaan tersebut perlu diubah menjadi $x=e^x$ atau $g\left(x\right)=e^x$

. Secara grafis metode ini diilustrasikan seperti Gambar dibawah.

---

Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap

• Definisikan f(x) dan g(x)
• Tentukan nilai toleransi e dan iterasi masimum (N)
• Tentukan tebakan awal x0
• Untuk iterasi i=1 s/d N atau f(xiterasi)≥e→xi=g(xi−1), Hitung f(xi)
• Akar persamaan adalah x terakhir yang diperoleh

---

FUngsi root_fpi() dapat digunakan untuk melakukan iterasi dengan argumen fungsi berupa persamaan non-linier, nilai tebakan awal, nilai toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Berikut adalah sintaks fungsi tersebut:

root_fpi <- function(f, x0, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 1
  xold <- x0
  xnew <- f(xold)
  
  while(abs(xnew-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      stop("No solutions found")
    }
    xold <- xnew
    xnew <- f(xold)
  }
  
  root <- xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh  Selesaikan persamaan non-linier menggunakan metode iterasi titik tetap?

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut kita perlu mentransformasi persamaan non-linier tersebut terlebih dahulu.

$$x{e}^{-x}+1=0\to x=-\frac{1}{e^{-x}}$$

Untuk tebakan awal digunakan nilai $x=-1$

$$x_1=-\frac{1}{e^1}=-2,718282$$

Nilai $x$

tersebut selanjutnya dijadikan nilai input pada iterasi selanjutnya:

$$x_2=-\frac{1}{e^{2,718282}}=-0,06598802$$

iterasi terus dilakukan sampai diperoleh $\left|x_{i+1}-x_i\right|\le e$

.

Untuk mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan bantuan fungsi root_fpi(). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

root_fpi(function(x){-1/exp(-x)}, x0=-1)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     -1/exp(-x)
## }
## <bytecode: 0x0000000018c9ee40>
## 
## $root
## [1] -0.5671
## 
## $iter
## [1] 29

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai $x=-0,5671433$

dengan jumlah iterasi yang diperlukan sebanyak $29$ kali. Jumlah iterasi akan bergantung dengan nilai tebakan awal yang kita berikan. Semakin dekat nilai tersebut dengan akar, semakin cepat nilai akar diperoleh.

 

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan menggunakan pendekatan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien. titik pendekatan dinyatakan pada Persamaan berikut.

$$\begin{array}{}{x}_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}\end{array}$$

---

Algoritma Metode Newton-Raphson

---

Fungsi root_newton() merupakan fungsi yang dibuat menggunakan algoritma di atas. Fungsi tersebut dituliskan pada sintaks berikut:

root_newton <- function(f, fp, x0, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  xold<-x0
  xnew <- xold + 10*tol
  
  while(abs(xnew-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      stop("No solutions found")
    }
    xold<-xnew
    xnew <- xold - f(xold)/fp(xold)  
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh  Selesaikan persamaan non-linier $x-e^{-x}=0$

menggunakan metode Newton-Raphson?

Jawab:

Untuk dapat menggunakan metode Newton-Raphson, terlebih dahulu kita perlu memperoleh turunan pertama dari persamaan tersebut.

$$f\left(x\right)=x-e^{-x}\to f^{\prime }\left(x\right)=1+e^{-x}$$

Tebakan awal yang digunakan adalah $x=0$

.

$$f\left(x_0\right)=0-e^{-0}=-1$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=1+e^{-0}=2$$

Hitung nilai $x$

baru:

$$x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}=0-\frac{-1}{2}=0,5$$

Untuk mempercepat proses iterasi, kita dapat menggunakan fungsi root_newton(). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

root_newton(function(x){x-exp(-x)},
            function(x){1+exp(-x)},
              x0=0)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     x - exp(-x)
## }
## <bytecode: 0x000000001c59e158>
## 
## $root
## [1] 0.5671
## 
## $iter
## [1] 5

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar penyelesaian persamaan non-linier adalah $x=0,5671433$

dengan jumlah iterasi yang diperlukan adalah $5$

iterasi.

Dalam penerapannya metode Newton-Raphson dapat mengalami kendala. Kendala yang dihadapi adalah sebagai berikut:

1. titik pendekatan tidak dapat digunakan jika merupakan titik ekstrim atau titik puncak. Hal ini disebabkan pada titik ini nilai $f^{\prime }\left(x\right)=0$. Untuk memahaminya perhatikan ilustasi yang disajikan pada Gambar dibawah Untuk menatasi kendala ini biasanya titik pendekatan akan digeser.

2. Sulit memperoleh penyelesaian ketika titik pendekatan berada diantara 2 titik stasioner. Untuk memahami kendala ini perhatikan Gambar dibawah, Untuk menghindarinya, penentuan titik pendekatan dapat menggunakan bantuan metode tabel.

3. Turunan persamaan sering kali sulit untuk diperoleh (tidak dapat dikerjakan dengan metode analitik).

 

Metode Secant

Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Persamaan yang dihasilkan disajikan pada Persamaan dibawah.

$$\begin{array}{}y-y_0=m\left(x-x_0\right)\end{array}$$

Nilai $m$

merupakan transformasi persamaan tersebut.

$$\begin{array}{}{m}_n=\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_n-x_{n-1}}\end{array}$$

Bila $y=f\left(x\right)$

dan $y_n$ dan $x_n$ diketahui, maka titik ke $n+1$

adalah:

$$\begin{array}{}{y}_{n+1}-y_n=m_n\left(x_{n+1}-x_n\right)\end{array}$$

Bila titik $x_{n+1}$

dianggap akar persamaan maka nilai $y_{n+1}=0$

, sehingga diperoleh:

$$\begin{array}{}-y_n=m_n\left(x_{n+1}-x_n\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\frac{m_n{x}_n-y_n}{m_n}=x_{n+1}\end{array}$$

atau

$$\begin{array}{}{x}_{n+1}=x_n-y_n\frac{1}{m_n}\end{array}$$

$$\begin{array}{}{x}_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right)\frac{x_n-x_{n+1}}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n+1}\right)}\end{array}$$

Berdasarkan Persamaan $$\begin{array}{}{x}_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right)\frac{x_n-x_{n+1}}{f\left(x_n\right)-f(x_{n+1}),}\end{array}$$ diketahui bahwa untuk memperoleh akar persamaan diperlukan 2 buah titik pendekatan. Dalam buku ini akan digunakan titik pendekatan kedua merupakan titik pendekatan pertama ditambah sepuluh kali nilai toleransi.

x1=x0+10∗tol

---

Algoritma Metode Secant

• Definisikan f(x) dan f′(x)
• Tentukan nilai toleransi e dan iterasi masimum (N)
• Tentukan tebakan awal x0 dan x1
• Hitung f(x0) dan f(x1)
• Untuk iterasi i=1 s/d N atau |f(x)|≥e, hitung x menggunakan Persamaan$$\begin{array}{}{x}_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right)\frac{x_n-x_{n+1}}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n+1}\right)}\end{array}$$
• Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
• 
  

---

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut:

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh Selesaikan persamaan non-linier pada Contoh dibawah menggunakan metode Secant? 

 

 

Untuk dapat menggunakan metode Newton-Raphson, terlebih dahulu kita perlu memperoleh turunan pertama dari persamaan tersebut.

$$f\left(x\right)=x-e^{-x}\to f^{\prime }\left(x\right)=1+e^{-x}$$

Tebakan awal yang digunakan adalah $x=0$

.

$$f\left(x_0\right)=0-e^{-0}=-1$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=1+e^{-0}=2$$

Hitung nilai $x$

baru:

$$x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}=0-\frac{-1}{2}=0,5$$

 

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut digunakan nilai pendekatan awal $x_0=0$

dan $x_1=0+10\ast {10}^{-7}={10}^{-6}$

.

$$f\left(x_0\right)=0-e^{-0}=-1$$

$$f\left(x_1\right)={10}^{-6}-e^{-{10}^{-6}}=-0,999998$$

Hitung nilai $x_2$

dan $f\left(x_2\right)$

.

$$x_2=0+0,999998\frac{{10}^{-6}-0}{-0,999998+1}=0,499999$$

Untuk mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan fungsi root_secant() pada R. Berikut sintaks yang digunakan:

root_secant(function(x){x-exp(-x)}, x=0)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     x - exp(-x)
## }
## <bytecode: 0x000000001b4fc6b0>
## 
## $root
## [1] 0.5671
## 
## $iter
## [1] 6

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah $x=0,5671433$

dengan iterasi dilakukan sebanyak $6$

kali.

Secara umum metode Secant menawarkan sejumlah keuntungan dibanding metode lainnya. Pertama, seperti metode Newton-Raphson dan tidak seperti metode tertutup lainnya, metode ini tidak memerlukan rentang pencarian akar penyelesaian. Kedua, tidak seperti metode Newton-Raphson, metode ini tidak memerlukan pencarian turunan pertama persamaan non-linier secara analitik, dimana tidak dapat dilakukan otomasi pada setiap kasus.

Adapun kerugian dari metode ini adalah berpotensi menghasilkan hasil yang tidak konvergen sama seperti metode terbuka lainnya. Selain itu, kecepatan konvergensinya lebih lambat dibanding metode Newton-Raphson.

Definisikan $f\left(x\right)$ dan $f^{\prime }\left(x\right)$

Tentukan nilai toleransi $e$ dan iterasi masimum (N)

Tentukan tebakan awal $x_0$

Hitung $f\left(x_0\right)$ dan $f^{\prime }\left(x_0\right)$

Untuk iterasi $i=1$ s/d $N$ atau $\left|f\left(x\right)\right|\ge e$, hitung $x$ menggunakan Persamaan diatas

Akar persamaan merupakan nilai $x_i$ terakhir yang diperoleh.